Exponentielle

Définition

La fonction logarithme népérien, est continue et strictement croissante de ]0,+∞[ sur ]-∞,+∞[. Il en résulte aussitôt par le théorème des fonctions réciproques que:
ln admet une fonction réciproque g définie sur ]-∞,+∞[, à valeurs dans ]0,+∞[, continue, croissante.
Voici en vert le graphe de ln et en bleu le graphe de sa réciproque g. Comme toujours, les deux sont symétriques par rapport à la première diagonale.

En outre ln est dérivable de dérivée partout non nulle et ln'(x)=1/x.
Il en résulte par le théorème de dérivation des fonctions réciproques que si g est la réciproque de ln, g vérifie l'équation g'=g.
En effet g'(y)=1/ln'(x)=1/(1/x)=x=g(y).

Equation fonctionnelle satisfaite par la réciproque de ln

De l'équation ln(xy)=ln(x)+ln(y) nous déduisons si g est la réciproque de ln:
g(x+y)=g(x)g(y)
Ceci entraîne immédiatement:
g(nx)=g(x)n pour n entier.
g(-x)=1/g(x)
g(sx)=g(x)s pour s rationnel.
En outre puisque ln(e)=1 on a:
g(1)=e et donc g(s)=es pour tout s rationnel.
Cela suggère la notation suivante pour la fonction g.
Nous poserons pour tout x (rationnel ou non) ex=g(x), et nous appelerons g la 'fonction exponentielle' (de base e).
Avec cette nouvelle notation les résultats vus précédemment peuvent s'exprimer:
eln(x)=x pour tout x>0
ln(ex)=x pour tout x réel
(ex)'=ex
ex+y=exey pour tout couple de réels (x,y)
Si s est rationnel avec s=p/q et p, q entiers et p>0, e s = e q p

Vitesse de croissance de la fonction exponentielle

De l'étude de la fonction ln et du fait que l'exponentielle est sa réciproque, nous concluons immédiatement que:
lim x + e x = +
et
lim x e x = 0
Et comme ln tend vers l'infini plus lentement que toute puissance positive de x quand x tend vers l'infini, il en résulte que ex tend vers l'infini plus vite que toute puissance de x, c'est à dire:
lim x x n e x = 0 pour tout entier positif n.

Développement en série entière

Nous avons déjà rencontré ici une fonction satisfaisant la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Cette fonction que nous avions noté exp(x) était définie ainsi:
exp ( x ) = n = 0 x n n !
La série entière ayant un rayon de convergence infini. Par ailleurs, nous avons vu dans cet exercice, que la fonction exp vérifie exp'(x)=exp(x). Il est facile de voir que la fonction exponentielle est strictement croissante et positive pour x>0 et que comme exp(-x)=1/exp(x) elle est également strictement croissante et positive pour x<0. Cette fonction ne s'annule donc jamais. En conséquence ln(exp(x)) est toujours défini.
Si h désigne la composée de ln avec exp, le théorème des fonctions composées nous donne h'(x)=1.
Il en résulte que h(x)=x+k où k est une constante. Faisant x=0 il vient immédiatement k=0.
En définitive ln(exp(x))=x et exp est bien la fonction réciproque de ln.
Ce qui peut encore s'exprimer ainsi:
Pour tout réel x
e x = n = 0 x n n !