Historique

La paternité de ce résultat est fort discutée (disputée). Certains l'attribuent à De Morgan (UK-1806-1871), d'autres à Darboux (FR-1842-1917), d'autres enfin à Kummer (DE-1810-1893 ), mais on le rencontre le plus souvent sous le nom de 'règle (ou test) de Raabe-Duhamel'. Nous avons choisi de nous conformer à l'usage le plus répandu. Il est d'ailleurs tout à fait possible que tous ces mathématiciens aient trouvé ce résultat, qui est essentiellement un lemme technique pour l'étude des séries hypergéométriques, indépendamment les uns des autres et sans avoir connaissance de résultats antérieurs.

Galerie des portraits

Jean-Marie Duhamel (FR -1797-1872)
Joseph Raabe (CH-1801-1859)
Gaston Darboux (FR-1842-1917)
Ernst Kummer (DE-1810-1893)
Auguste de Morgan (UK-1806-1871)

Le théorème

Nous commençons par le résultat préliminaire suivant:
Soit (s,u) la série de terme général: un=1/ns (n≥1)
Alors (s,u) converge si s>1.
La preuve résulte d'une application directe du test de condensation de Cauchy.
Nous aurons également besoin du résultat suivant:
Pour n→∞ on a:
(1+1/n)-k=1-k/n+O(1/n²)
Ce résultat est facile à montrer avec peu de moyens lorsque k est entier. Pour le démontrer en toute généralité il faut faire appel à des théorèmes élémentaires de calcul différentiel non encore développés dans ce cours. Nous admettrons donc ce résultat dont la preuve ne présente aucune difficulté quand on connait la notion de dérivée.
La règle de Raabe-Duhamel est essentiellement un test de comparaison avec les séries 1/ns. Nous l'énonçons maintenant:
(Soit (s,u) une série pour laquelle limn→∞ |un+1/un|=1
(s,u) sera absolument convergente s'il existe un réel strictement positif c tel que: limn→∞ n(|un+1/un|-1)=-1-c

Considérons la série (t,v) de terme général:
vn=An-1-c/2
où A est une constante quelconque.
Compte tenu de la remarque préliminaire nous avons:
vn+1/vn=1-(1+c/2)/n+O(1/n²)
Lorsque n → ∞ nous avons:
n(vn+1/vn-1) → -1-c/2
Nous pouvons donc trouver N tel que pour n >m
|un+1/un| ≤ vn+1/vn
Un choix convenable de la constante A nous permet d'assurer que:
|un| < vn
Et la convergence absolue de la série (s,u) résulte de la convergence de la série (t,v).
Nous avons donc le corollaire suivant (en pratique plus utile que le résultat lui-même):
Si |un+1/un|=1+k/n+O(1/n²) pour n → ∞ où k est une constante vérifiant k<-1, alors la série (s,u) est absolument convergente.