Dans tout ce paragraphe nous avons affaire à des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie.

Normes sur E

Si E est un espace muni d'un produit scalaire, nous avons déjà vu la définition de la norme usuelle des vecteurs de E.
Cette norme possède les propriétés suivantes: A partir de cette norme nous pouvons définir une distance:
d(x,y) = ||x-y|| ∀ (x,y) ∈ E × E
Cette distance confère à E la qualité d'espace métrique et lui donne une topologie (ensembles ouverts et fermés).
Nous définirons donc comme norme sur E toute application possédant les quatre propriétés référencées ci-dessus.
Nous allons voir qu'il existe beaucoup de telles 'normes'sur Kn, voici quelques exemples, nous utiliserons un indice pour les différencier.
||x||= Sup(|x1|, ... , |xn|)
||x||1= |x1|+ ... + |xn|
et plus généralement
||x||p= (|x1|p+ ... + |xn|p)1/p
Cette liste n'est évidemment pas exhaustive. Si || || est une norme et si k est un nombre positif alors k|| || est également une norme, mais il existe bien d'autres possibilités.
De fait, la norme 'euclidienne' que nous avons définie précédemment correspond au cas p=2 dans l'exemple ci-dessus, on la note aussi L2. On a ainsi les normes L1, L2 , ..... , L.
Deux normes || || et || ||' sont dites 'équivalentes' s'il existe deux constantes k et h > 0 telles que:
k||x|| ≤ ||x||' ≤ h||x|| ∀ x ∈ E.
Des normes équivalentes définissent des distances équivalentes (au même sens) et la même topologie, les ouverts pour l'une sont exactement les ouverts pour l'autre.
Nous avons alors le théorème extrêmement important qui suit:
Sur un espace de dimension finie, TOUTES les normes sont équivalentes.
La démonstration de ce résultat n'est pas très difficile, mais elle n'a pas sa place dans cet exposé, il s'agit de techniques d'analyse n'ayant rien à voir avec l'algèbre en général ni avec l'algèbre linéaire en particulier. Nous citons ce résultat parce que nous pourrons en avoir besoin quand dans une démonstration on remplace, par exemple, une norme par une autre pour des raisons de commodité.

Normes sur L(E)

Rappelons que L(E) désigne l'ensemble des endorphismes de E. Nous avons vu que L(E) est un espace vectoriel de dimension finie n2 sur K. Le théorème précédent s'applique donc pleinement.
Nous allons maintenant voir qu'il existe une façon d'associer à toute norme de E une norme de L(E).
Soit en effet || || une norme sur E et u un élément de L(E), on désigne par U la 'boule unité fermée' de E c'est à dire l'ensemble des vecteurs x ∈ E vérifiant ||x|| ≤ 1. Nous admettrons que dans le cas de la dimension finie, toutes les applications linéaires sont bornées en ce sens que
||u||= Sup ||u(x)||
x ∈ U
est un nombre fini (cela résulte de propriétés de compacité, c'est donc un résultat d'analyse plus que d'algèbre pure).
Alors ||u|| définit une norme sur L(E) et on a:
||u(x)|| ≤ ||u|| ||x||
La démonstration de ce résultat ne présente aucune difficulté et nous ne la proposons pas ici. Le lecteur pourra vérifier cela à titre d'exercice.
Il pourra également vérifier que:
||vou|| ≤ ||v||||u||
Cependant (voir exercice), tout cela n'est plus vérifié dans le cas de la dimension infinie.
Sauf mention expresse du contraire, nous choisirons sur E la norme L2 et sur L(E) la norme associée.

Normes sur M(n,K)

M(n,K) désigne, rappelons le, l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. On sait que M(n,K) s'identifie à Kn2.
On a donc sur M(n,K) toutes les normes L1, L2, ...,Lp, ...L de Kn2.
Mais si nous choisissons pour référence la base canonique de Kn, M(n,K) s'identifie à L(E), et nous pouvons aussi bien définir la norme d'une matrice A, comme la norme de l'endomorphisme associé.
Toutes ces normes coexistent sur M(n,K) et elles sont toutes équivalentes !
Sauf mention expresse du contraire si A désigne une matrice quelconque de M(n,K), nous poserons:
||A||=||u|| où u est l'endomorphisme de Kn associé à A par le choix de la base canonique.
||u|| étant la norme associée à la norme euclidienne L2.
Il résulte donc de la définition précédente que:
||A||= Sup ||AX||
X.X ≤ 1
et aussi que:
||AX|| ≤ ||A||||X|| ∀ X vecteur colonne de Kn
et enfin que:
||AB|| ≤ ||A||||B||

Base image: Eric Brunelle Université de Montréal

Exemples de calcul

La norme de la matrice nulle est 0
La norme de la matrice identité est 1
La norme d'une matrice diagonale A = (ai,j) est Sup(|ai,i|) 1 ≤ i ≤ n
L'appliquette suivante une application linéaire de 2 dans 2.
Le vecteur u tracé en bleu représente l'image de (1,0).
Le veteur v tracé en vert représente l'image de (0,1).
La matrice (2,2) à gauche représente la matrice de l'application linéaire par rapport à la base canonique de 2.
Les vecteurs u et v représentent donc les colonnes de la matrice.
Vous pouvez faire varier ces deux vecteurs en attrapant leur extrêmité avec la souris par un tirer-déplacer (drag'n drop).
La matrice est mise à jour au cours de cette opération.
Sa norme apparait dans la case jaune à côté de la matrice.
L'ellipse tracée en jaune est l'image du cercle unité.
La norme de u correspond à la plus grande norme des vecteurs de l'ellipse.
Le rayon de l'ellipse se place automatiquement dans la direction du plus grand axe.
La norme de u est donc la longueur de ce rayon.