Les anciens Égyptiens ne connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers.
Il s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers strictement croissants.

Exemples

On peut démontrer qu'une telle décomposition est toujours possible.

Cette décomposition n'est pas unique:
En effet on peut écrire également:

Dans son livre "Liber Abaci" paru en 1202, Léonard de Pise (Fibonacci) donne sans démonstration un algorithme qui permet d'obtenir une décomposition de toute fraction en une somme de fractions égyptiennes. La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester qui a démontré que l'algorithme donne bien une décomposition en un nombre fini de fractions.
Leonardo Pisano dit Fibonacci
(1175/1250-IT)
James Sylvester
(1814/1897-UK)

Méthode (algorithme dit 'glouton')

On veut décomposer la fraction a/b < 1 que l'on note a(0)/b(0),
 Pour k = 0, 1, ..soit n(k) le plus petit entier > n(k-1)  tel que  1/n(k) soit inférieur ou égal à a(k)/b(k)
 On prendra à l'étape suivante a(k+1)/b(k+1) = a(k)/b(k) - 1/n(k)
 soit. a(k+1) = a(k)*n(k) - b(k) et      b(k+1) = b(k) * n(k)
  L'algorithme débute en prenant k=0 et s'arrête lorsque a(k) est nul.
  a/b = 1/n(0) + 1/n(1) + ...

Preuve

(Simplifions la notation dans la preuve en omettant d'écrire la variable k) :
   On a 1/n <= a/b < 1/(n-1) et à l'étape suivante, s'il doit y en avoir une,
  a/b est remplacé par (an-b)/(bn).
  Le numérateur an-b  est strictement inférieur au précédent 'a' car leur différence
  a - (an-b) = a-an+b est strictement positive, en effet l'inégalité stricte a/b < 1/(n-1)
  donne a(n-1)<b c'est-à-dire 0< b-an+a.

 Cet algorithme est loin d'être performant, ni du point de vue du nombre de fractions ni du point de vue de la taille des dénominateurs.
Si nous l'utilisons pour la fraction 4/65 nous trouvons:
4/65=1/17+1/369+1/203873+1/831281966385
Alors qu'il est clair que:
4/65=1/26+1/65+1/130
Pour des compléments voir exercice sur la conjecture de Sierpinski.

Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Donner deux entiers 0 <  m < n ≤ 100000   m: n:
Décomposition égyptienne de m/n:
Message d'erreur éventuel: